Tip#4: Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 3 Đường Giới Hạn

Diện tích Hình phẳng giới hạn bởi tía đường - Trích bài bác giảng khoá PRO X tại vted.vn

Trích đề thi và bài bác giảng khoá PRO X Luyện thi THPT đất nước 2018 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây:https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Mời độc giả cùng theo dõi những ví dụ dưới đây:

Câu 23. Cho $(H)$ là hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol $y=fracx^26,$ mặt đường cong $y=sqrt1-fracx^24$ (với $0le xle 2$) cùng trục hoành (tham khảo mẫu vẽ bên).

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

Diện tích của $(H)$ bằng

Lời giải bỏ ra tiết:

Có $fracx^26=sqrt1-fracx^24Leftrightarrow x=sqrt3(0le xle 2)Rightarrow S=intlimits_0^sqrt3fracx^26dx+intlimits_sqrt3^2sqrt1-fracx^24dx=frac2pi -sqrt312.$

Chọn lời giải D.

Trích đề thi và bài xích giảng khoá PRO X Luyện thi THPT giang sơn 2018 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tập tại đây:https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Câu 24. Diện tích của hình phẳng $(H)$ số lượng giới hạn bởi bố đường $y=x^2,y=fracx^227,y=frac27x$ (tham khảo hình vẽ bên) bằng

Lời giải đưa ra tiết:

Trích đề thi và bài xích giảng khoá PRO X Luyện thi THPT non sông 2018 Môn Toán trên Vted.vn

Đăng kí khoá học tập tại đây:https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Bài viết hướng dẫn phương thức ứng dụng tích phân nhằm tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong, đó là dạng toán thường gặp trong lịch trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân với Ứng dụng.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ dùng thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ gia dụng thị.Cách 2:+ Vẽ các đồ thị trên và một hệ trục tọa độ.+ Từ đồ gia dụng thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị cha hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo cánh trong hình mẫu vẽ bên).

Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?
A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ đồ dùng thị ta có:

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn lời giải C.

Ví dụ 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 – x^2 + 3x + x – 4 ight $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 3: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 2x^2 – fracx^24 ight $ $ + int_3^6 dx $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| left. left( 54ln x – fracx^312 ight) ight ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng biến trên $R$ cùng $x=0$ là một trong những nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 left $ $ + int_0^ln 3 left .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và những tiếp con đường của $(P)$ tại các giao điểm của $(P)$ cùng với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết những tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp con đường là: $y = 3x – 6.$Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 left $ $ + int_frac12^2 x^2 – x – 2 – (3x – 6) ight .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = 3x – x^2$ với $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 8: call $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ khẳng định nào sau đó là đúng?
A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn giải đáp C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, mặt đường thẳng $y = 3 – 2x$ với trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ và trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ và $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ xác định nào sau đó là đúng?
A. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$B. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$C. $S = int_0^3 frac27x – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 left .$D. $S = int_0^3 x^2 – frac27x ight $ $ + int_3^9 x^2 – fracx^227 ight .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai nhánh đường nhỏ cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và đường thẳng $y=4$ bằng?
A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn giải đáp D.

Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn câu trả lời C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn lời giải A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 dx .$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Cách Đánh Công Thành Chiến Vltk Mobile, Vltk Công Thành Chiến

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 4x^2 – x^2 ight $ $ + int_1^2 4 – x^2 ight = frac83.$Chọn giải đáp A.