Công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích đồ dùng thể, thể tích khối tròn xoay bằng tích phân, ứng dụng
Hai trong các những ứng dụng của tích phân là tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi một số trong những đường cùng tính thể tích của thiết bị thể (đặt biệt: thứ thể tròn xoay, khối tròn xoay) trong không gian.
Bạn đang xem: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
Công thức tính diện tích s hình phẳng bằng tích phân
Dạng cơ phiên bản (một đồ thị hàm số)
Ảnh đẹp,18,Bài giảng năng lượng điện tử,10,Bạn gọi viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học viên giỏi,40,Cabri 3D,2,Các công ty Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,275,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá chỉ năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương cứng ôn tập,39,Đề kiểm soát 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,968,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi thân kì,18,Đề thi học kì,134,Đề thi học viên giỏi,125,Đề thi THỬ Đại học,393,Đề thi demo môn Toán,59,Đề thi tốt nghiệp,43,Đề tuyển chọn sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,217,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,34,Giải bài bác tập SGK,16,Giải bỏ ra tiết,192,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án vật dụng Lý,3,Giáo dục,358,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,201,Hằng số Toán học,19,Hình tạo ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,90,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo ngay cạnh hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,La
Tex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,Math
Type,7,Mc
Mix,2,Mc
Mix phiên bản quyền,3,Mc
Mix Pro,3,Mc
Mix-Pro,3,Microsoft bỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều phương pháp giải,36,Những mẩu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,292,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mượt Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến khiếp nghiệm,8,SGK Mới,20,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,Test
Pro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính hóa học cơ bản,15,Toán 10,147,Toán 11,177,Toán 12,385,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học tập Tuổi trẻ,26,Toán học tập - thực tiễn,100,Toán học tập Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán đái học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp nhất Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
Bài viết phía dẫn phương thức ứng dụng tích phân để tính thể tích đồ vật thể (gồm đồ dùng thể giới hạn bởi các mặt phẳng cùng vật thể tròn xoay) trải qua lý thuyết, bí quyết tính, công việc giải toán và ví dụ minh họa có giải thuật chi tiết.
Kiến thức đề nghị nắm:1. Thể tích của đồ vật thểGiả sử đồ vật thể $T$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng tuy vậy song $(alpha )$, $(eta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:$left{ eginarraylOx ot (alpha ) \Ox ot (eta )endarray ight.$ và đưa sử $left{ eginarraylOx cap (alpha ) = a\Ox cap (eta ) = bendarray ight.$Giả sử mặt phẳng $(gamma ) cap Ox$ và $(gamma ) cap Ox = xleft( a le x le b ight)$ cắt $T$ theo một thiết diện có diện tích $Sleft( x ight)$ (là hàm số thường xuyên theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của đồ vật thể $T$ được cho vì chưng công thức: $V = intlimits_a^b S(x)dx .$
2. Thể tích của vật dụng thể tròn xoaya. Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ liên tục và không âm bên trên đoạn $left< a;b ight>$. Thể tích của đồ thể tròn xoay sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay xung quanh trục $Ox$ được cho vì chưng công thức: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$b. Cho hàm số $x = fleft( y ight)$ liên tục với không âm bên trên đoạn $left< a;b ight>$. Tính thể tích thứ thể tròn luân phiên sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay xung quanh trục $Oy$ được cho vày công thức: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$
3. Thể tích khối nón cùng khối chóp, khối nón cụt cùng khối cầua. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được mang lại bởi $V = frac13Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là $B_1$, $B_2$ và chiều cao $h$ được đến bởi: $V = frac13(B_1 + m B_2 + sqrt B_1..B_2 )h.$b. Thể tích của khối ước có chào bán kính $R$ được mang lại bởi: $V = frac43pi R^3.$
Dạng toán 1: Tính thể tích đồ vật thểPhương pháp: Thực hiện nay theo nhì bước:+ Bước 1: khẳng định công thức tính diện tích s thiết diện $Sleft( x ight)$ (hoặc $Sleft( y ight)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.+ Bước 2: lúc đó: $V = intlimits_a^b S(x)dx $ (hoặc $V = intlimits_a^b S(y)dy $).
Ví dụ 1: Tính thể tích của đồ gia dụng thể:a. Nằm giữa hai khía cạnh phẳng $x = 0$ và $x = fracpi 2$, biết rằng tiết diện của vật dụng thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc cùng với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $left( 0 le x le fracpi 2 ight)$ là một hình vuông cạnh $sqrt sin ^3x .$b. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng tiết diện của thứ thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm gồm hoành độ $x$ $left( 1 le x le 4 ight)$ là một tam giác mọi cạnh là $sqrt x – 1.$
a. Diện tích s thiết diện $Sleft( x ight)$ được mang đến bởi:$Sleft( x ight) = left( sqrt sin ^3x ight)^2$ $ = m sin^3x$ $ = frac14left( 3sin x – sin 3x ight) .$Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = frac14intlimits_0^pi /2 left( 3sin x – sin 3x ight)dx $ $ = frac14left( – 3cos x + frac13cos 3x ight)left| eginarraylpi /2\0endarray ight.$ $ = frac23.$b. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được đến bởi:$Sleft( x ight) = fracsqrt 3 4left( sqrt x – 1 ight)^2$ $ = fracsqrt 3 4left( x – 2sqrt x + 1 ight).$Khi đó, thể tích đồ gia dụng thể được mang lại bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = fracsqrt 3 4intlimits_1^4 left( x – 2sqrt x + 1 ight)dx $ $ = fracsqrt 3 4left( frac12x^2 – frac43x^frac32 + x ight)left| _1^4 ight.$ $ = frac7sqrt 3 24.$
Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các thể tích vật dụng thể trên:+ Ở câu 1.a vì chưng thiết diện là hình vuông (giả sử cạnh bởi $a$) đề xuất ta có ngay $S = a^2$.+ Ở câu 1.b do thiết diện là tam giác hồ hết (giả sử cạnh bởi $a$) đề nghị ta có ngay $S = fraca^2sqrt 3 4.$
Chú ý: Trong một số trong những trường hợp chúng ta cần search cận $a$, $b$ thông qua việc thiết lập điều kiện ko âm mang lại hàm số $fleft( x ight)$ (hoặc $f(y)$).
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay chế tác thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = e^x$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = 0$, $x = 3.$b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = 3 – x^2$, trục tung và mặt đường thẳng $y = 1.$
a. Thể tích thiết bị thể được mang lại bởi: $V = pi intlimits_0^3 y^2dx $ $ = pi intlimits_0^3 e^2xdx $ $ = fracpi 2e^2xleft| _0^3 ight.$ $ = fracpi 2(e^6 – 1).$b. Biến đổi hàm số về dạng: $y = 3 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 3 – y$ (cần gồm điều kiện $3 – y ge 0$ $ Leftrightarrow y le 3$).Khi đó, thể tích đồ thể được đến bởi: $V = pi intlimits_1^3 x^2dy $ $ = pi intlimits_1^3 (3 – y)dy $ $ = pi left( 3y – fracy^22 ight)left| _1^3 ight.$ $ = 2pi .$
Nhận xét: Như vậy, nhằm tính những thể tích khối tròn luân phiên trên:+ Ở câu 2.a họ sử dụng ngay bí quyết trong dạng 1.+ Ở câu 2.b chúng ta cần thực thêm công việc biến đổi hàm số về dạng $x = fleft( y ight)$ và ở đây nhờ đk có nghĩa của $y$ chúng ta cảm nhận cận $y = 3.$
Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta con quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = m y = 0;y = sqrt 1 + cos ^4x + sin ^4x ;$ $x = fracpi 2;x = pi m .$b. $H = m y = 0;y = sqrt cos ^6x + sin ^6x ;$ $x = 0;x = fracpi 2 m .$
a. Thể tích vật dụng tròn xoay phải tính được đến bởi:$V = pi intlimits_pi /2^pi (1 + cos ^4x + sin ^4x) dx$ $ = pi intlimits_pi /2^pi (frac7 – cos 4x4)dx $ $ = pi left( frac74x – frac116sin 4x ight)left| eginarraylpi \pi /2endarray ight.$ $ = frac78pi ^2$ (đvtt).b. Thể tích đồ thể tròn xoay nên tính là:$V = pi intlimits_0^pi /2 (cos ^6x + sin ^6x)dx$ $ = pi intlimits_0^pi /2 (1 – frac34sin ^22x)dx $ $ = pi intlimits_0^pi /2 (frac58 + frac38cos 4x)dx $ $ = pi left( frac58x + frac332sin 4x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight.$ $ = frac5pi ^216$ (đvtt).
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay làm cho khi ta tảo hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = left y = 3ax – x^2left( a > 0 ight),y = 0 ight.$b. $H = left y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e ight.$
a. Phương trình hoành độ giao điểm của $left( p
ight)$ và $Ox$ là:$3ax – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$Khi đó, thể tích cần khẳng định được mang lại bởi:$V = pi intlimits_0^3a (3ax – x^2)^2dx $ $ = pi intlimits_0^3a (x^4 – 6ax^3 + 9a^2x^2)dx $ $ = pi left( frac15x^5 – frac3a2x^4 + 3a^2x^3
ight)left| eginarrayl3a\0endarray
ight.$ $ = frac81a^5pi 10$ (đvtt).b. Thể tích đồ vật thể tròn xoay buộc phải tính là:$V = pi intlimits_1^e (xln x)^2 dx$ $ = pi intlimits_1^e x^2ln ^2x dx.$Để tính tích phân bên trên ta sử dụng phương thức tích phân từng phần, đặt:$left{ eginarraylu = ln ^2x\dv = x^2dxendarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac2xln xdx\v = frac13x^3endarray
ight.$Khi đó: $V = pi left( frac13x^3ln ^2x
ight)left| eginarrayle\1endarray
ight.$ $ – frac2pi 3intlimits_1^e x^2ln x dx$ $ = fracpi e^33 – frac2pi 3underbrace intlimits_1^e x^2ln x dx_I$ $(1).$Xét tích phân $I$, đặt:$left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac1xdx\v = frac13x^3endarray
ight.$Khi đó: $I = frac13x^3lnxleft| _1^e
ight. – frac13 intlimits_1^e x^2dx $ $ = frace^33 – frac19x^3left| _1^e
ight.$ $ = frac2e^39 + frac19$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = fracpi (5e^3 – 2)27$ (đvtt).
Xem thêm: Hộp Số Tự Động Đánh Số Các Hàng, Tự Động Đánh Số Các Hàng
Dạng toán 3: Tính thể tích đồ dùng thể tròn luân phiên dạng 2Phương pháp: Ta gồm hai dạng sau:+ Dạng 1: phương pháp tính thể tích đồ dùng thể tròn chuyển phiên sinh vì chưng miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$ quay xung quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b left .$+ Dạng 2: bí quyết tính thể tích vật dụng thể tròn xoay sinh vày miền $left( D ight)$ giới hạn vì $x = fleft( y ight)$, $x = gleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b left .$
Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay chế tác thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị nhì hàm số $y = x^2$ và $y = 2 – x^2.$b. Quay xung quanh trục tung một hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hai hàm số $y = x$ và $y = 2 – x^2.$
a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x^2 = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 1$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Thể tích vật dụng tròn xoay nên tính là:$V = pi intlimits_ – 1^1 x^4 – (2 – x^2)^2 ight $ $ = pi intlimits_ – 1^1 dx $ $ = 4pi intlimits_ – 1^1 (1 – x^2)dx $ $ = 4pi left( x – fracx^33 ight)left| _ – 1^1 ight.$ $ = frac16pi 3.$b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 + x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 1 Rightarrow y = 1\x = -2 Rightarrow y = -2endarray ight.$Thể tích vật dụng thể được đến bởi:$V = pi intlimits_ – 2^1 dy $ $ = frac92pi .$
Ví dụ 6: Cho hình tròn $left( C ight)$ tâm $Ileft( 0;2 ight)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:a. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Ox$.b. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$.
Đường tròn $(C)$ gồm phương trình: $left( C ight):x^2 + (y – 2)^2 = 1.$
a. Ta có:Ta phân chia đường tròn $(C)$ thành $2$ mặt đường cong như sau:+ Nửa $left( C ight)$ ở bên trên ứng với $2 le y le 3$ bao gồm phương trình: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.+ Nửa $left( C ight)$ ở bên dưới ứng với $1 le y le 2$ tất cả phương trình: $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.Khi đó, thể tích thiết bị thể tròn xoay bắt buộc tính được sinh bởi hình trụ $(C)$ giới hạn bởi các đường: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $, $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $, $x = -1$, $x = 1$ xoay quanh $Ox$ được xem theo công thức: $V = pi intlimits_ – 1^1 dx$ $ = 8pi intlimits_ – 1^1 sqrt 1 – x^2 dx$ $ = 4pi ^2.$b. Khi quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$ ta nhận thấy khối tròn xoay chính là hình cầu phân phối kính $R = 1$, vày đó: $V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .$
Ví dụ 7: Tính thể tích đồ gia dụng thể tạo bởi vì hình elip $left( E ight):fracleft( x – 4 ight)^24 + fracy^216 le 1$ quay quanh trục $Oy.$
Elip $left( E ight)$ có tâm $Ileft( 4,0 ight)$, trục lớn tất cả độ dài $2a = 8$, trục nhỏ có độ dài $2b = 4.$
Ta chia đường biên của elip $(E)$ thành $2$ đường cong như sau:+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $2 le x le 4$ bao gồm phương trình: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $4 le x le 6$ có phương trình: $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$Thể tích vật thể tròn xoay bắt buộc tính được sinh vì chưng miền $E$ giới hạn bởi các đường: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $, $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $, $y = -4$, $y = 4$ xoay quanh trục $Oy$ được xem theo công thức:$V = pi intlimits_ – 4^4 left( f_2^2(y) – f_1^2(y) ight) dy$ $ = 32pi intlimits_ – 4^4 sqrt 1 – fracy^216 dy$ $ = 64pi ^2.$